Bezout Sayıları veya Bezout Katsayıları

Bezout katsayıları, Bezout özdeşliği (Bezout’s identity) içinde geçen özel sayılardır.

Temel fikir şu: Herhangi iki tam sayı $a$ ve $b$ için,

\[\gcd(a, b) = s \cdot a + t \cdot b\]

şeklinde bir ifade yazılabilir. Buradaki $s$ ve $t$ sayıları Bezout katsayıları olarak adlandırılır.

---

Örnek

Diyelim ki:

\[a = 30,\quad b = 18\]

Bu iki sayının en büyük ortak böleni:

\[\gcd(30, 18) = 6\]

Şimdi $s$ ve $t$ öyle seçilir ki:

\[6 = s \cdot 30 + t \cdot 18\]

Bir çözüm:

\[6 = 1 \cdot 30 + (-1) \cdot 18\]

Burada:

\[s = 1,\quad t = -1\]

→ Bu $s$ ve $t$ sayıları Bezout katsayılarıdır.

---

Özellikler

1. Birden fazla çözüm vardır. Tek çözüm yoktur; $s$ ve $t$ sonsuz sayıda farklı değer alabilir. Mesela yukarıdaki örnekte başka bir çözüm:

   \[6 = (-5) \cdot 30 + 9 \cdot 18\]
2. Extended Euclidean Algorithm ile kolayca bulunur. Normal Öklid algoritması ile gcd hesaplanırken, adımlar geri izlenerek katsayılar elde edilir.

3. Kullanım alanları:

   • Modüler ters bulma (kriptografi, RSA, eliptik eğri şifreleme)
   • Diophantine denklemleri çözme
   • Çin Kalan Teoremi uygulamaları

---